Question

已知函數(shù)f（x）滿足下列條件：（1）函數(shù)f（x）定義域?yàn)閇0，1]；（2）對(duì)于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（0）=0，f（1）=1；（3）對(duì)于滿足條件x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1的任意兩個(gè)數(shù)x₁，x₂，有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（Ⅰ）證明：對(duì)于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）；
（Ⅱ）證明：對(duì)于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x；
（Ⅲ）不等式f（x）≤1.9x對(duì)于一切x∈[0，1]都成立嗎？

Answer 1

【答案】分析：（I）欲證對(duì)于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y），將y寫(xiě)成y-x+x，利用f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）進(jìn)行放縮即得．
（II）欲證明證明：對(duì)于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x，利用反證法，先假設(shè)存在x∈（0，1]，使得f（x）＞2x，通過(guò)推出矛盾，從而得出假設(shè)不成立而得證；
（III）先取函數(shù)驗(yàn)證此函數(shù)符合題目中的（1），（2），（3）兩個(gè)條件，但是f（0.51）=1＞1.9×0.51=0.969．從而不等式f（x）≤1.9x并不對(duì)所有x∈[0，1]都成立．
解答：解：（Ⅰ）證明：對(duì)于任意的0≤x≤y≤1，
則0≤y-x≤1，∴f（y-x）≥0．
∴f（y）=f（y-x+x）≥f（y-x）+f（x）≥f（x）．
∴對(duì)于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）．（5分）
（Ⅱ）由已知條件可得f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x），
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0≤2×0，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）≤2x．
假設(shè)存在x∈（0，1]，使得f（x）＞2x，
則x一定在某個(gè)區(qū)間上．
設(shè)，
則f（2x）＞4x，f（4x）＞8x，┅，f（2^k-1x）＞2^kx．
由；
可知，且2^kx＞1，
∴f（2^k-1x）≤f（1）=1，
又f（2^k-1x）＞2^kx＞1．
從而得到矛盾，因此不存在x∈（0，1]，使得f（x）＞2x．
∴對(duì)于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x．（10分）
（Ⅲ）取函數(shù)
則f（x）顯然滿足題目中的（1），（2）兩個(gè)條件．
任意取兩個(gè)數(shù)x₁，x₂，使得x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
若，
則f（x₁+x₂）≥0=f（x₁）+f（x₂）．
若x₁，x₂分別屬于區(qū)間和中一個(gè)，
則f（x₁+x₂）=1=f（x₁）+f（x₂），
而x₁，x₂不可能都屬于．
綜上可知，f（x）滿足題目中的三個(gè)條件．
而f（0.51）=1＞1.9×0.51=0.969．
即不等式f（x）≤1.9x并不對(duì)所有x∈[0，1]都成立．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．