Question

(本題滿分12分)本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分．

已知拋物線，F(xiàn)是焦點，直線l是經(jīng)過點F的任意直線．

(1)若直線l與拋物線交于兩點A、B，且(O是坐標原點，M是垂足)，求動點M的軌跡方程；

(2)若C、D兩點在拋物線上，且滿足，求證直線CD必過定點，并求出定點的坐標．

 

 

Answer 1

【答案】

所求動點M的軌跡方程是()．

直線CD的方程可化為． 直線CD恒過定點，且定點坐標為(2，0)．

【解析】(本題滿分12分)本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分．

解　(1) 設動點M的坐標為．                  …………………1分

∵拋物線的焦點是，直線l恒過點F，且與拋物線交于兩點A、B，

又，

∴．                     …………………3分

∴，化簡，得．   …………………5分

又當M與原點重合時，直線l與x軸重合，故．

∴所求動點M的軌跡方程是()．

(2) 設點C、D的坐標為、．       …………………………6分

∵C、D在拋物線上，

∴，，即，．

又，

∴．      ………8分

∵點C、D的坐標為、，

∴直線CD的一個法向量是，可得直線CD的方程為：

　　，化簡，得

，進一步用，有

．

又拋物線上任兩點的縱坐標都不相等，即．

∴直線CD的方程可化為．     ………………………10分

∴直線CD恒過定點，且定點坐標為(2，0)．      ………………………12分