Question

已知?x∈R，acos2x+bcosx≥-1恒成立，則當(dāng)a≤0時(shí)，a+b的最大值是（　　）

• A．

  1

  2

• B．1
• C．

  2

• D．2

Answer 1

分析：由二倍角公式及換元法可化為關(guān)于t的二次函數(shù)f（t）=2at²+bt+1-a≥0，在t∈[-1，1]上 恒成立，可對a分類，若a=0易得結(jié)果，若a＜0由二次函數(shù)構(gòu)造約束條件，用線性規(guī)劃來解決．

解答：解：acos2x+bcosx≥-1恒成立，即a（2cos²x-1）+bcosx+1≥0
令cosx=t，則f（t）=2at²+bt+1-a≥0，在t∈[-1，1]上 恒成立，
若a=0時(shí)，f（t）=bt+1≥0在t∈[-1，1]上 恒成立，
當(dāng)b≥0時(shí)，bt+1的最小值為-b+1，由-b+1≥0可得b≤1
當(dāng)b＜0時(shí)，bt+1的最小值為-b+1，由-b+1≥0可得b≥-1，
即b∈[-1，1]，故a+b≤1，a+b的最大值為1；
若a＜0，f（t）=2at²+bt+1-a為開口向下的二次函數(shù)，
故只需區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值大于等于0即可，
即f（-1）≥0，f，1）≥0，解得

a-b+1≥0 a+b+1≥0

令z=a+b，由線性規(guī)劃的知識可得z=a+b＜1，
綜上可得a+b≤1
故選B

點(diǎn)評：本題為最值得求解，涉及換元法和分類討論以及線性規(guī)劃，屬中檔題．