在△ABC中，若（
AB
-4
AC
）⊥
CB
，則cosA的最小值為
4
5
4
5
．
分析：由題意得（
AB
-4
AC
）•
CB
=0，將
CB
=
AB
-
AC
代入，化簡整理得
AB
•
AC
=
1
5
（
AB
2+4
AC
2），再由向量的夾角公式和基本不等式加以計算，可得當
|AB|
=2
|AC|
時，cosA=
4
5
達到最小值．
解答：解：∵（
AB
-4
AC
）⊥
CB
，∴（
AB
-4
AC
）•
CB
=0．
∵
CB
=
AB
-
AC
，
∴（
AB
-4
AC
）•（
AB
-
AC
）=0，展開得
AB
2-5
AB
•
AC
+4
AC
2=0
可得
AB
•
AC
=
1
5
（
AB
2+4
AC
2），
∵
AB
•
AC
=
|AB|
•
|AC|
cosA，
∴cosA=
AB
•
AC
|AB|
•
|AC|
=
1
5
•
AB
2+4
AC
2
|AB|
•
|AC|
=
1
5
（
|AB|
|AC|
+
4
|AC|
|AB|
）
∵
|AB|
|AC|
+
4
|AC|
|AB|
≥2
|AB|
|AC|
•
4
|AC|
|AB|
=4，
∴當且僅當
|AB|
=2
|AC|
時，cosA=
4
5
達到最小值．
故答案為：
4
5
點評：本題給出向量垂直的位置關系，求cosA的最小值．著重考查了向量數(shù)量積的公式及其運算性質(zhì)、用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，若
BC
=
a
，
CA
=
b
，
AB
=
c
且
a
•
b
=
b
•
c
=
c
•
a
，則△ABC的形狀是△ABC的（　　）
A、銳角三角形
B、直角三角形
C、等腰直角三角形
D、等邊三角形

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，若
BC
=
a
，
AC
=
b
，
AB
=
c
，且
|b|
=2
3
，
a
•cosA+
c
•cosC=
b
•sinB．
（1）斷△ABC的形狀；
（2）求
a
•
c
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，若（a+b+c）（a+b-c）=3ab，且sinC=2sinAcosB，則△ABC是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，則△ABC的形狀是（　�。�
A、直角三角形B、等腰直角三角形C、等腰三角形D、等邊三角形

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，若（a+c）（a-c）=b（b+c），則A等于（　�。�

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