Question

11．設(shè)A為不等式log₂（5x²-8x+3）＞2的解集，B為不等式2${\;}^{{x}^{2}-2x-k}$≥$\frac{1}{2}$的解集．
（1）求集合A，B；
（2）如果A⊆B，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可將原不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，解得A，B；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，分類討論滿足A⊆B的實(shí)數(shù)k的取值范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）若log₂（5x²-8x+3）＞2，則5x²-8x+3＞4，即5x²-8x-1＞0，
解得：A=（-∞，$\frac{4-\sqrt{21}}{5}$）∪（$\frac{4+\sqrt{21}}{5}$，+∞）；
若2${\;}^{{x}^{2}-2x-k}$≥$\frac{1}{2}$，則x²-2x-k≥-1，即x²-2x+1-k≥0，
當(dāng)k≤0時(shí)，B=R；
當(dāng)k＞0時(shí)，B=（-∞，1-$\sqrt{k}$]∪[1+$\sqrt{k}$，+∞）；
（2）當(dāng)k≤0時(shí)，B=R，滿足A⊆B，
當(dāng)k＞0時(shí)，B=（-∞，1-$\sqrt{k}$]∪[1+$\sqrt{k}$，+∞），由A⊆B得：$\left\{\begin{array}{l}1-\sqrt{k}≥\frac{4-\sqrt{21}}{5}\\ 1+\sqrt{k}≤\frac{4+\sqrt{21}}{5}\end{array}\right.$
解得：0＜k≤$\frac{22-2\sqrt{21}}{25}$，
故k≤$\frac{22-2\sqrt{21}}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．