Question

已知函數f（x）=log₃（ax+b）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析與定義域；
（2）設F（x）=log₃（

x

9

）•log₃（3x），求F（x）在[

1

9

，9]上的最大值及其相對應的x值．

Answer 1

考點：復合函數的單調性,對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）把A（2，1）、B（5，2）兩點坐標代入f（x）的解析式，可得a、b的值，從而求得f（x）的解析式．
（2）設t=log₃x，F(xiàn)（x）可轉化為y=t²-t-2=(t-

1

2

)2-

9

4

（-2≤t≤2），再利用二次函數的性質求得函數的最大值及其相對應的x值．

解答： 解：（1）把圖象中A（2，1）、B（5，2）兩點坐標代入f（x）=log₃（ax+b），
化簡可得2a+b=3 且5a+b=9，解得a=2，b=-1，
故f（x）=log3（2x-1），令2x-1＞0，求得函數的定義域為（

1

2

，+∞）．
（2）F（x）=log₃（

x

9

）•log₃（3x）=（log₃x-2）•（log₃x+1），
設t=log₃x，x∈[

1

9

，9]，則-2≤t≤2，∴F（x）可轉化為y=t²-t-2=(t-

1

2

)2-

9

4

（-2≤t≤2），
∴當t=

1

2

時，y_min=-

9

4

，此時x=3；當t=-2時，y_max=4，此時x=

1

9

．
綜上知，當x=

1

9

時，最大值為F（

1

9

）=4．

點評：本題主要考查用待定系數法求函數的解析式，對數的運算性質、復合函數的單調性，二次函數的性質的用用，體現(xiàn)了轉化的數學思想，屬于中檔題．