Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-12x的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f′（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析：（I）f′（x）=3x²+2ax-12，由于f′（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即可得出a=0．進(jìn)而得到f（x）．
（II）令f′（x）=0，解得x=±2．列表即可得出極值．

解答：解：（I）f′（x）=3x²+2ax-12，∵f′（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴a=0．
∴f（x）=x³-12x．
（II）由（I）可得f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）．
令f′（x）=0，解得x=±2．列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，且f（-2）=16；當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，
且f（2）=-16．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、二次函數(shù)的對(duì)稱性等是解題的關(guān)鍵．