Question

已知雙曲線的左右焦點是F₁，F(xiàn)₂，設P是雙曲線右支上一點，

F1F2

在

F1P

上的投影的大小恰好為|

F1P

|且它們的夾角為

π

6

，則雙曲線的離心率e為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)

F1F2

在

F1P

上的投影的大小恰好為 |

F1P

|判斷兩向量互相垂直得到直角三角形，進而根據(jù)直角三角形中內(nèi)角為

π

6

，結(jié)合雙曲線的定義建立等式求得a和c的關系式，最后根據(jù)離心率公式求得離心率e．

解答：解：∵

F1F2

在

F1P

上的投影的大小恰好為 |

F1P

|，
∴PF₁⊥PF₂，
又因為它們的夾角為

π

6

，
所以 ∠PF 1F 2=

π

6

，
所以在直角三角形PF₁F₂中，F(xiàn)₁F₂=2c，
所以PF₂=c，PF₁=

3

c
又根據(jù)雙曲線的定義得：PF₁-PF₂=2a，
∴

3

c-c=2a，
∴

c

a

=

3

+1，
所以e=

3

+1．
故答案為：

3

+1．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．考查了學生綜合分析問題和運算的能力．解答關鍵是通過解三角形求得a，c的關系從而求出離心率．