Question

在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）線段ED上是否存在點(diǎn)Q，使平面EAC⊥平面QBC？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，再利用已知AC⊥FB和線面垂直的判定定理即可證明；
（II）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量是否垂直即可．
解答：（Ⅰ）證明：∵AB=2BC，∠ABC=60°，
在△ABC中，由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos60°=3BC²，
∴AC²+BC²=4BC²=AB²，∴∠ACB=90°．
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，F(xiàn)B∩BC=B，
∴AC⊥平面FBC．
（Ⅱ）
線段ED上不存在點(diǎn)Q，使平面EAC⊥平面QBC．
證明如下：
因?yàn)锳C⊥平面FBC，所以AC⊥FC．
因?yàn)镃D⊥FC，所以FC⊥平面ABCD．
所以CA，CF，CB兩兩互相垂直，如圖建立的空間直角坐標(biāo)系C-xyz．
在等腰梯形ABCD中，可得 CB=CD．
設(shè)BC=1，所以，．
所以，．
設(shè)平面EAC的法向量為=（x，y，z），則，
所以取z=1，得=（0，2，1）．
假設(shè)線段ED上存在點(diǎn)Q，設(shè)，所以．
設(shè)平面QBC的法向量為=（a，b，c），則
所以取c=1，得=．
要使平面EAC⊥平面QBC，只需，
即 ，此方程無解．
所以線段ED上不存在點(diǎn)Q，使平面EAC⊥平面QBC．
點(diǎn)評：本題綜合考查了線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理、通過距離空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量解決面面垂直等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．