Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁₀=30，a₂₀=50．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）令b_n=2 an-10，證明：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）等差數(shù)列{a_n}中，由a₁₀=30，a₂₀=50．解得a₁=12，d=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項a_n．
（2）由a_n=2n+10，知b_n=2 an-10=2²ⁿ=4ⁿ，由此能夠證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（3）由nb_n=n•4ⁿ，知T_n=1•4+2•4²+…+n•4ⁿ，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{nb_n}的前n項和T_n．

解答：（1）解：設數(shù)列{a_n}首項為a₁，公差為d，
依題意知

a1+9d=30 a1+19d=50

，解得a₁=12，d=2，
∴a_n=12+（n-1）×2=2n+10．
（2）證明：∵a_n=2n+10，
∴b_n=2 an-10=2²ⁿ=4ⁿ，
∴

bn+1

bn

=

4n+1

4n

=4，
∴數(shù)列{b_n}是以首項b₁=4，公比為4的等比數(shù)列．
（3）解：∵nb_n=n•4ⁿ，
∴T_n=1•4+2•4²+…+n•4ⁿ，①
4T_n=1•4²+2•4³+…+n•4ⁿ⁺¹，②
①-②，得-3T_n=4+4²+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹=

4(1-4n)

1-4

-n•4ⁿ⁺¹=-

4

3

+(

1

3

-n)•4n+1，
∴T_n=

4

9

+(

n

3

-

1

9

)•4n+1．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意錯位相減法的合理運用．