Question

（本小題１4分）請你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形HEF斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=xcm.

（１）請用分別表示｜GE｜、｜EH｜的長

（2）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm²）最大，試問x應(yīng)取何值？

H

（3）若廣告商要求包裝盒容積V（cm³）最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值.

 

Answer 1

【答案】

（１）｜GE｜=   ｜EH｜=

（2）當(dāng)x=15時(shí)，S取得最大值

（3）當(dāng)x=20時(shí)，V取得極大值，也是最大值.

此時(shí)，即包裝盒的高與底面邊長的比值為

【解析】第一問中利用已知的圖像可知，結(jié)合正方形的特點(diǎn)得到。

第二問中，設(shè)包裝盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm），由已知得

得到然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的思想求解最大值

第三問中，表示然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求解體積的最值問題。

解：｜GE｜=   ｜EH｜=

設(shè)包裝盒的高為h（cm），底面邊長為a（cm），由已知得

(2)

所以當(dāng)x=15時(shí)，S取得最大值. 

（3）.

由得x=0（舍）或x=20.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以當(dāng)x=20時(shí)，V取得極大值，也是最大值.

此時(shí)，即包裝盒的高與底面邊長的比值為