已知曲線C上動點P（x，y）到定點F1（
3
，0）與定直線l1：x=
4
3
3
的距離之比為常數(shù)
3
2
．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）以曲線c的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設圓T與曲線C交于點M與點N，求
TM
•
TN
的最小值，并求此時圓T的方程．
分析：（1）利用條件，建立方程，化簡，即可求曲線c的軌跡方程；
（2）用坐標表示出向量的數(shù)量積，再用配方法求最值，求出M的坐標，代入圓的方程，即可求得結論．
解答：解：（1）因為曲線C上動點P（x，y）到定點F1（
3
，0）與定直線l1：x=
4
3
3
的距離之比為常數(shù)
3
2

所以
(x-3)2+y2
|x-
4
3
3
|
=
3
2
，
所以橢圓的標準方程為
x2
4
+y2=1．
（2）點M與點N關于x軸對稱，設M（x1，y1），N（x2，y2），不妨設y1＞0．
由于點M在橢圓C上，所以y12=1-
x12
4
．
由已知T（-2，0），則
TM
=（x1+2，y1），
TN
=（x1+2，-y1），
∴
TM
•
TN
=（x1+2，y1）•（x1+2，-y1）=
5
4
（x1+
8
5
）2-
1
5
．
由于-2＜x1＜2，故當x1=-
8
5
時，
TM
•
TN
取得最小值為-
1
5
．
此時，y1=
3
5
，故M（-
8
5
，
3
5
），
又點M在圓T上，代入圓的方程得到r2=
13
25
．
故圓T的方程為：(x+2)2+y2=
13
25
．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量的數(shù)量積公式，考查配方法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C上的動點M到y(tǒng)軸的距離比到點F（1，0）的距離小1，
（I）求曲線C的方程；
（II）過F作弦PQ、RS，設PQ、RS的中點分別為A、B，若
PQ
•
RS
=0，求|
AB
|最小時，弦PQ、RS所在直線的方程；
（III）是否存在一定點T，使得
AF
=λ
TB
-
FT
？若存在，求出P的坐標，若不存在，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•崇明縣二模）已知曲線C上動點P（x，y）到定點F1（
3
，0）與定直線l1：x=
4
3
3
的距離之比為常數(shù)
3
2
．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若過點Q（1，
1
2
）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，求弦AB所在的直線方程；
（3）以曲線C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設圓T與曲線C交于點M與點N，求
TM
•
TN
的最小值，并求此時圓T的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學江蘇省無錫市青陽高級中學高三（上）月考數(shù)學試卷（一）（解析版） 題型：解答題

已知曲線C上動點P（x，y）到定點F1（，0）與定直線l1：x=的距離之比為常數(shù)．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）以曲線c的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設圓T與曲線C交于點M與點N，求•的最小值，并求此時圓T的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年上海市崇明縣高考數(shù)學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知曲線C上動點P（x，y）到定點F1（，0）與定直線l1：x=的距離之比為常數(shù)．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若過點Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，求弦AB所在的直線方程；
（3）以曲線C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設圓T與曲線C交于點M與點N，求的最小值，并求此時圓T的方程．

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