精英家教網(wǎng)如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（-1，1）為圓O上一點(diǎn)．曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為
2
2
的橢圓，點(diǎn)F為其右焦點(diǎn)．過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的右準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線PQ與圓O相切．
分析：（1）由題意，得a=
2
，e=
2
2
，c=1，b2=1．由此可知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
2
+y2=1．
（2）由題意知直線OQ的方程為y=2x，又橢圓的右準(zhǔn)線方程為x=2，所以Q（2，4），kPQ=
4-1
2-(-1)
=1．由此可知OP⊥PQ．所以直線PQ與圓O相切．
解答：解：（1）由題意，得a=
2
，e=
2
2
，
∴c=1，∴b2=1．
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
2
+y2=1．（6分）
（2）∵P（-1，1），F(xiàn)（1，0），
∴kPF=-
1
2
，∴kOQ=2．
所以直線OQ的方程為y=2x．（10分）
又橢圓的右準(zhǔn)線方程為x=2，所以Q（2，4），所以kPQ=
4-1
2-(-1)
=1．
又kOP=-1，所以kPQ•kOP=-1，即OP⊥PQ．
故直線PQ與圓O相切．（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知圓O：x2+y2=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）邊長(zhǎng)為
2
的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B均在圓O上，C、D在圓O外，當(dāng)點(diǎn)A在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，C點(diǎn)的軌跡為E．
①求軌跡E的方程；
②過(guò)軌跡E上一定點(diǎn)P（x0，y0）作相互垂直的兩條直線l1，l2，并且使它們分別與圓O、軌跡E相交，設(shè)l1被圓O截得的弦長(zhǎng)為a，設(shè)l2被軌跡E截得的弦長(zhǎng)為b，求a+b的最大值．
（2）正方形ABCD的一邊AB為圓O的一條弦，求線段OC長(zhǎng)度的最值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A、B兩點(diǎn)，P在圓O上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），過(guò)P作直線l1，OS垂直于l1交直線l2：x=-3于點(diǎn)S．
（1）求證：“如果直線l1過(guò)點(diǎn)T（-1，0），那么
OP
•
PS
=1”為真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本小題滿分15分）如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為的橢圓，其右焦點(diǎn)為F．若點(diǎn)P(－1,1)為圓O上一點(diǎn)，連結(jié)PF，過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的右準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明：直線PQ與圓O相切．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(－1,1)為圓O上一點(diǎn)．曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為的橢圓，點(diǎn)F為其右焦點(diǎn)．

過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的右準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線PQ與圓O相切．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案