Question

已知，邊AB上一點(diǎn)P₁，這里P₁異于A、B．由P₁引邊OB的垂線P₁Q₁，Q₁是垂足，再由Q₁引邊OA的垂線Q₁R₁，R₁是垂足．又由R₁引邊AB的垂線R₁P₂，P₂是垂足．同樣的操作連續(xù)進(jìn)行，得到點(diǎn) P_n、Q_n、R_n（n∈N^*）．設(shè) ＜t_n＜1），如圖．
（1）求的值；
（2）某同學(xué)對(duì)上述已知條件的研究發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：，問(wèn)該同學(xué)這個(gè)結(jié)論是否正確？并說(shuō)明理由；
（3）用t₁和n表示t_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求的值，先求其平方．利用三角形OAB中的邊角條件即可求得 ，從而得出；
（2）該同學(xué)的結(jié)論正確．由（1）與已知，得三角形OAB的三邊長(zhǎng)，由余弦定理結(jié)合向量條件即可證得．
（3）結(jié)合圖形，可得 變形為：得到{tn-}構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，公比為-，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可表示出t_n
解答：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183030343194771/SYS201310241830303431947026_DA/7.png">-----（1分）
則 ；所以，--------------（4分）
（2）該同學(xué)的結(jié)論正確．----------------------------（5分）
由（1）與已知，得，
由余弦定理  -----------------（6分）
又∵，則
則，所以，---------（8分）
（3）結(jié)合圖形，可得 ---------------------（14分）
則------------------------（16分）
∴{tn-}構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，公比為-，
故--------------（18分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查向量模、解三角形的應(yīng)用、數(shù)列的通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．