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橢圓＋＝1(a>b>0)的一個頂點為A(0,2)，離心率e＝.

(1)求橢圓的方程；

(2)直線l：y＝kx－2(k≠0)與橢圓相交于不同的兩點M、N，且滿足＝，·＝0，求直線l的方程．

 

【答案】

（1）橢圓方程為＋＝1.

（2）直線方程為y＝±x－2.

【解析】解：(1)設c＝，依題意

得即

∴a2＝3b2＝12，即橢圓方程為＋＝1.

(2)∵＝，·＝0，∴AP⊥MN，

且點P是線段MN的中點，由消去y得x2＋3(kx－2)2＝12，

即(1＋3k2)x2－12kx＝0，(*)

由k≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k)2＝144k2>0，顯然方程(*)有兩個不相等的實數根．

設M(x1，y1)、N(x2，y2)，線段MN的中點P(x0，y0)，

則x1＋x2＝，∴x0＝＝.

∴y0＝kx0－2＝＝，即P.

∵k≠0，∴直線AP的斜率為

k 1＝＝. 由MN⊥AP，得·k＝－1，

∴2＋2＋6k2＝6，解得k＝±， 故直線方程為y＝±x－2.

 

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A、＋＝1      B、＋＝1     C、＋＝1 D、＋＝1

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Ａ．         Ｂ．              Ｃ.            Ｄ.

 

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