Question

已知數(shù)列{a_n}滿足首項(xiàng)為a₁=2，a_n+1=2a_n（n∈N^*）．設(shè)b_n=3log₂a_n-2（n∈N^*），數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_nb_n．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{b_n}成等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由數(shù)列{a_n}的遞推式求出{a_n}的通項(xiàng)公式，代入b_n=3log₂a_n-2整理，然后利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列{b_n}成等差數(shù)列；
（Ⅱ）直接利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： （Ⅰ）證明：∵a_n+1=2a_n，且a₁=2≠0，
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則an=a1qn-1=2n，
∴b_n=3log₂a_n-2=3log22n-2=3n-2．
∵b_n+1-b_n=3（n+1）-2-3n+2=3，
∴{b_n}為以3為公差的等差數(shù)列；
（Ⅱ）解：∵cn=anbn=(3n-2)•2n，
∴Sn=1•2+4•22+7•23+…+(3n-2)•2n  ①
2Sn=1•22+4•23+7•24+…+(3n-5)•2n+(3n-2)•2n+1  ②
①-②得：-Sn=2+3[22+23+24+…+2n]-(3n-2)•2n+1
=2+3•

4(1-2n-1)

1-2

-(3n-2)•2n+1=-10+（5-3n）•2ⁿ⁺¹，
∴Sn=10-(5-3n)•2n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差關(guān)系的確定，考查了數(shù)列的求和方法，訓(xùn)練了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．