Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+ax+b（a，b∈R）的值域為（-∞，0]，若關(guān)于x的不等式f（x）＞c-1的解集為（m-4，m+1），則實數(shù)c的值為

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),一元二次不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可以利用一元二次不等式與方程的關(guān)系研究，得到方程的根與解集的關(guān)系，利用兩根之差為定值，求出實數(shù)c的值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=-x²+ax+b（a，b∈R）的值域為（-∞，0]，
∴△=0，
∴a²+4b=0，
∴b=-

a2

4

．
∵關(guān)于x的不等式f（x）＞c-1的解集為（m-4，m+1），
∴方程f（x）=c-1的兩根分別為：m-4，m+1，
即方程：-x²+ax-

a2

4

=c-1兩根分別為：m-4，m+1，
∵方程：-x²+ax-

a2

4

=c-1根為：
x=

a

2

±

1-c

，
∴兩根之差為：2

1-c

=（m+1）-（m-4），
c=-

21

4

．
故答案為：-

21

4

．

點評：本題考查了一元二次不等式與方程的關(guān)系，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．