（2012•湖南模擬）已知向量
m
=(2cos2x，
3
)，
n
=(1，sin2x)，函數(shù)f(x)=
m
•
n
．
（1）求函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f(C)=3，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．
分析：（1）通過向量的數(shù)量積以及二倍角的余弦函數(shù)，兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用正弦函數(shù)的對稱性求函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）通過f(C)=3，c=1，ab=2
3
，求出C的大小，以及余弦定理求出a，b的值．
解答：解：（1）f(x)=
m
•
n
=(2cos2x，
3
)•(1，sin2x)=2cos2x+
3
sin2x，
=cos2x+1+
3
sin2x=2sin(2x+
π
6
)+1．…（4分）
令2x+
π
6
=kπ得，x=
kπ
2
-
π
12
(k∈Z)，
∴函數(shù)f（x）的對稱中心為(
kπ
2
-
π
12
，1)．…（6分）
（2）f(C)=2sin(2C+
π
6
)+1=3   ∴sin(2C+
π
6
)=1，
∵C是三角形內(nèi)角，∴2C+
π
6
=
π
2
即：C=
π
6
…（8分）
∴cosC=
b2+a2-c2
2ab
=
3
2
即：a2+b2=7．
將ab=2
3
代入可得：a2+
12
a2
=7，解之得：a2=3或4，…（10分）
∵a＞b，∴a=2，b=
3
．…（12分）
∴a=
3
或2，∴b=2或
3
．
點評：本題考查向量的數(shù)量積的應用，余弦定理以及兩角和的正弦函數(shù)與二倍角公式的應用，考查計算能力．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2+x-(x+1)ln(x+1)
（1）判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）記φ（x）=f′（x-1）-k（x-1），若函數(shù)φ（x）有兩個零點x1，x2（x1＜x2），求證：φ′(
x1+x2
2
)＞0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）設函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）的導函數(shù)f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）的導函數(shù)f″（x），若在區(qū)間（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數(shù)”，已知f(x)=
1
12
x4-
1
6
mx3-
3
2
x2，若當實數(shù)m滿足|m|≤2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數(shù)”，則b-a的最大值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）已知函數(shù)f(x)=
-x-1(x＜-2)
x+3(-2≤x≤
1
2
)
5x+1(x＞
1
2
)
（x∈R），
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知m∈R，命題p：關于x的不等式f（x）≥m2+2m-2對任意x∈R恒成立；命題q：函數(shù)y=（m2-1）x是增函數(shù)．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）設曲線y=xn+1（n∈N）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，則x1•x2•x3•…•x2012的值為
1
2013
1
2013
．

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