Question

已知函數(shù)f（x）=|x|•（a-x），a∈R．
（1）當(dāng)a=4時，畫出函數(shù)f（x）的大致圖象，并寫出其單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若不等式|x|•（a-x）≤6對x∈[0，2]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先對x分類討論，去掉絕對值符號；然后根據(jù)二次函數(shù)的圖象特征，即可畫出其草圖；而其單調(diào)性，觀察圖象顯而易見．
（2）由x∈[0，2]易于把函數(shù)f（x）化簡為二次函數(shù)，再把其單調(diào)減區(qū)間表示出來，進(jìn)而根據(jù)f（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，可得a的不等式，則a可求．
（3）要用分離參數(shù)的方法把a(bǔ)分離出來，需對x=0單獨討論；由于0＜x≤2時，a≤x+

6

x

恒成立，則利用導(dǎo)數(shù)法求出x+

6

x

的最小值即可．

解答：解：（1）a=4時，f(x)=

-x2+4x  (x≥0) x2-4x   (x＜0)

，
f（x）的圖象如圖所示，
所以其單調(diào)遞增區(qū)間為[0，2]．
（2）x∈[0，2]時，f(x)=x(a-x)=-x2+ax=-(x-

a

2

)2+

a2

4

∴f（x）在（-∞，

a

2

）上單調(diào)遞增，在[

a

2

，+∞）上單調(diào)遞減．
又函數(shù)f（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以

a

2

≤0．
解得a≤0．
（3）當(dāng)x=0時，0≤6成立，所以a∈R；
當(dāng)0＜x≤2時，a-x≤

6

x

，
即a≤x+

6

x

，只要a≤(x+

6

x

)min
設(shè)g(x)=x+

6

x

，則g′（x）=1-

6

x2

，∴g（x）在(0，

6

]上遞減，在[ 

6

， +∞)上遞增，
∴當(dāng)0＜x≤2時，g（x）_min=g（2）=5．
所以a≤5．
綜上，|x|（a-x）≤6對x∈[0，2]恒成立的實數(shù)a的取值范圍是（-∞，5]．

點評：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決更復(fù)雜函數(shù)問題的前提，必須把此基礎(chǔ)打牢；
分離參數(shù)法是求解不等式恒成立問題的常用思想方法，它是通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題求解．