Question

已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)镈，若?a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）都是某一三角形的三邊長(zhǎng)，則稱f（x）為定義在D上的“保三角函數(shù)”，以下說(shuō)法正確的是

 

．
①f（x）=1（x∈R）不是R上的“保三角函數(shù)”
②若定義在R上的函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇

2

，2]，則f（x）一定是R上的“保三角函數(shù)”
③f（x）=

1

x2+1

使其定義域上的“保三角函數(shù)”
④當(dāng)t＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=e^x+t一定是[0，1]上的“保三角函數(shù)”

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題設(shè)，根據(jù)“保三角形函數(shù)”的定義對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得出正確選項(xiàng)．對(duì)①可舉正三角形，即可判斷；對(duì)②由

2

+

2

＞2，即可判斷；對(duì)于③，舉a=0，b=3，c=3，即可驗(yàn)證；對(duì)④求出[0，1]時(shí)函數(shù)的值域，
設(shè)x，y，z是f（x）的三個(gè)函數(shù)值，且x≥y≥z，驗(yàn)證x-z與y的大小，注意t＞1，即可判斷．

解答： 解：對(duì)于①選項(xiàng)，由題設(shè)所給的定義知，?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）
都是某一正三角形的三邊長(zhǎng)，是“保三角形函數(shù)”，故①選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于②選項(xiàng)，由于

2

+

2

＞2，可知，定義在R上的函數(shù)f（x）的值域是[

2

，2]，
則f（x）一定是“保三角形函數(shù)”，故②正確；
對(duì)于③選項(xiàng)，當(dāng)a=0，b=3，c=3時(shí)，f（a）=1＞f（b）+f（c）=

1

5

，不構(gòu)成三角形，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④選項(xiàng)，當(dāng)0≤x≤1，e^x∈[1，e]，又t＞1，則f（x）∈[1+t，e+t]，
設(shè)x，y，z是f（x）的三個(gè)函數(shù)值，且x≥y≥z，則x-z≤（e+t）-（t+1）=e-1＜2＜1+t≤y，
即有x-z＜y，即y+z＞x成立，故④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查綜合法推理及函數(shù)的值域，三角形的性質(zhì)，理解新定義是解答的關(guān)鍵．