Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且a₅=8，S₅=20．
（1）求S_n；
（2）若對(duì)任意n＞t，n∈N^*，都有

1

S1+2a1+6

+

1

S2+2a2+6

+…+

1

Sn+2an+6

＞

12

25

，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）等差數(shù)列{a_n}，a₅=8，S₅=20，用a₁和a₅分別表示S₅，解此方程組即可求得a₁和d，從而求出S_n；
（2）先化簡(jiǎn)

1

Sn+2an+6

=

1

n+1

-

1

n+2

，再利用拆項(xiàng)法求和，結(jié)合放縮法解不等式

1

S1+2a1+6

+

1

S2+2a2+6

+…+

1

Sn+2an+6

＞

12

25

即可求出t的最小值．

解答：解：（1）由題意得：S5=

(a1+a5)×5

2

=20=

(a1+8)×5

2

，
解得a₁=0，
又d=（a₅-a₁）÷（5-1）=8÷4=2，a_n=（n-1）×2=2n-2，
∴S_n=

(2n-2)n

2

=n2-n．
（2）
∵

1

Sn+2an+6

=

1

n2-n+2(2n-2)+6

=

1

n2+3n+2

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴

1

S1+2a1+6

+

1

S2+2a2+6

+…+

1

Sn+2an+6

=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)
=

1

2

-

1

n+2

＞

12

25

，

1

n+2

＜

1

2

-

12

25

=

1

50

，
∴n+2＞50，n＞48，
∴t的最小值為48．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題、數(shù)列與不等式的綜合，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．