Question

已知函數(shù)f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）在點(diǎn)x=1處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值；
（3）若a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1，證明不等式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題可得f'（x）=-3x²-4mx-m²則f'（1）=0，即m²+4m+3=0所以m=-3或m=-1．
（2）由（1）得f'（x）=-3x²+4x-1，令f'（x）≥0，得f（x）在[0，1]上的增區(qū)間為，減區(qū)間為，進(jìn)而得到函數(shù)的最值．
（3）由（2）得即整理得可得
解答：解：（1）由題可得f'（x）=-3x²-4mx-m²
則f'（1）=0，即m²+4m+3=0所以m=-3或m=-1，又m＞-2，故m=-1
（2）由（1）知，f（x）=-x³+2x²-x+2，則f'（x）=-3x²+4x-1
令f'（x）≥0，得f（x）在[0，1]上的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
所以
（3）因f（x）=-x³+2x²-x+2=（1+x²）（2-x），x∈[0，1]
所以，即
所以
故]
又1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≤3（a²+b²+c²）
所以
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”）
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，還考查了利用函數(shù)的最值證明不等式恒成立的知識(shí)點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)與不等式相結(jié)合是高考考查的熱點(diǎn)，多以解答題的形式出現(xiàn)屬于中檔題．