Question

如圖某河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A、B，觀察對岸的點(diǎn)C，測得∠CAB=75°，∠CBA=45°，且AB=100米．
（1）求sin75°；
（2）求該河段的寬度．

Answer 1

分析：（1）由題意利用兩角和公式即可；
（2）由題意畫出簡圖，在三角形中利用正弦定理先求出BC的長度，然后過點(diǎn)B作BD垂直于對岸，垂足為D，由題意可得BD的長就是該河段的寬度，在三角形中解出即可．

解答：解：（1）sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°
=

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

6 + 2

4

；
（2）∵∠CAB=75°，∠CBA=45°
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=60°，
由正弦定理得：

AB

sin∠ACB

=

BC

sin∠CAB

∴BC=

ABsin75°

sin60°

，
如圖過點(diǎn)B作BD垂直于對岸，垂足為D，則BD的長就是該河段的寬度．
在Rt△BDC中，∵∠BCD=∠CBA=45°，sin∠BCD=

BD

BC

，
∴BD=BCsin45°=

ABsin75°

sin60°

•sin45°=

100× 6 + 2 4

3 2

×

2

2

=

25(6+2 3 )

3

=

50(3+ 3 )

3

（米）．

點(diǎn)評：此題考查了學(xué)生的題意理解，還考查了正弦定理解三角形，兩角和公式，還考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基本題型．