Question

16．設(shè)k≠0，若函數(shù)y₁=（x-k）²+2k和y₂=-（x+k）²-2k的圖象與y軸依次交于A，B兩點(diǎn)，函數(shù)y₁，y₂的圖象的頂點(diǎn)分別為C，D．
（1）當(dāng)k=1時(shí)，請(qǐng)?jiān)谕�一直角坐�?biāo)系中，分別畫出函數(shù)y₁，y₂的草圖，并根據(jù)圖形，寫出y₁，y₂兩圖象的位置關(guān)系；
（2）當(dāng)-2＜k＜0時(shí)，求線段AB長(zhǎng)的取值范圍；
（3）A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成的圖形是否為平行四邊形？若是平行四邊形，則是否構(gòu)成菱形或矩形？若能構(gòu)成菱形或矩形，請(qǐng)直接寫出k的值．

Answer 1

分析 （1）取k=1可得兩函數(shù)解析式，并作出草圖；
（2）由函數(shù)解析式求出A，B，C，D的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得AB，利用二次函數(shù)求得范圍；
（3）分別求出AC、BD、AD、BC所在直線的斜率，由斜率相等可得A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形ADBC是平行四邊形，再由對(duì)角線斜率分析可知四邊形ADBC不能構(gòu)成菱形．

解答 解：（1）如圖，${y}_{1}=（x-1）^{2}+2，{y}_{2}=-（x+1）^{2}-2$；
（2）在函數(shù)y₁=（x-k）²+2k和y₂=-（x+k）²-2k中，
分別取x=0，得${y}_{1}={k}^{2}+2k，{y}_{2}=-{k}^{2}-2k$，
∴A（0，k²+2k），B（0，-k²-2k），
∴|AB|=|k²+2k+k²+2k|=2|k²+2k|，
∵-2＜k＜0，∴k²+2k∈[-1，0），
則|AB|=2|k²+2k|∈（0，2]；
（3）由題意可得：A（0，k²+2k），B（0，-k²-2k），
C（k，2k），D（-k，-2k），
則${k}_{AC}=\frac{{k}^{2}}{-k}=-k，{k}_{BD}=\frac{-{k}^{2}}{k}=-k$，${k}_{AD}=\frac{{k}^{2}+4k}{k}=k+4，{k}_{BC}=\frac{-{k}^{2}-4k}{-k}=k+4$，
∴A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形ADBC是平行四邊形，
∵${k}_{CD}=\frac{4k}{2k}=2$，且AB的斜率不存在，
∴不能構(gòu)成菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象，考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．