Question

已知復(fù)數(shù)z=（1-i）²+1+3i．
（1）若z²+az+b=1-i，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若復(fù)數(shù)（

1

z

+mi）²在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,復(fù)數(shù)相等的充要條件

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（1）由條件求得復(fù)數(shù)z=1+i，根據(jù)z²+az+b=1-i，利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件求得a和 b的值．
（2）化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)（

1

z

+mi）² 為

1

4

-（m²-m+

1

4

）+（m-

1

2

）i，根據(jù)它對(duì)應(yīng)點(diǎn)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，可得 

1

4

-（m²-m+

1

4

）＞0，且 （m-

1

2

）＞0，由此求得m的范圍．

解答： 解：（1）∵復(fù)數(shù)z=（1-i）²+1+3i=1+i，z²+az+b=1-i，
∴2i+a（1+i）+b=1-i，即 a+b+（a+2）i=1-i，
∴a+b=1，a+2=-1．
解得a=-3，b=4．
（2）∵復(fù)數(shù)（

1

z

+mi）² =(

1

1+i

+mi)2=[

1

2

+(m-

1

2

)i]2=

1

4

-（m²-m+

1

4

）+（m-

1

2

）i
對(duì)應(yīng)點(diǎn)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，
∴

1

4

-（m²-m+

1

4

）＞0，且（m-

1

2

）＞0，
解得

1

2

＜m＜1，即m的范圍是（

1

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)代數(shù)表示法及其幾何意義，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．