Question

若橢圓和雙曲線有相同焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，并且

PF1

•

PF2

=0，e₁，e₂分別為它們的離心率，則

1

e 2 1

+

1

e 2 2

的值是

2

．

Answer 1

分析：由題設(shè)中的條件，設(shè)焦距為2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2m，根據(jù)橢圓和雙曲線的性質(zhì)以及勾弦定理建立方程，聯(lián)立可得m，a，c的等式，整理即可得到結(jié)論

解答：解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2m，不妨令P在雙曲線的右支上
由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2m  ①
由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2a  ②
又∠F₁PF₂=90⁰，故|PF₁|²+|PF₂|²=4c²   ③
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
-①²+②²得|PF₁||PF₂|=a²-m²⑤
將④⑤代入③得a²+m²=c²，即

1

c2 a2

+

1

c2 m2

=1，即

1

e 1 2

+

1

e 2 2

=2
故答案為2

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過(guò)橢圓與雙曲線的定義焦點(diǎn)三角形中用勾弦定理建立三個(gè)方程聯(lián)立求橢圓離心率e₁與雙曲線心率e₂滿足的關(guān)系式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，湊出兩曲線離心率所滿足的方程來(lái)．