Question

一個四棱錐的三視圖如圖所示．

（1）求這個四棱錐的全面積及體積；
（2）求證：PA⊥BD；
（3）在線段PD上是否存在一點Q，使二面角Q-AC-D的平面角為30°？若存在，求

|DQ|

|DP|

的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可得該多面體的底面棱長及側高，代入面積公式可得其表面積；再計算出棱錐的高后，代入體積公式可得答案．
（2）由三視圖，可知四棱錐的底面是正方形，側面是全等的等腰三角形，所以該四棱錐是一個正四棱錐．作出它的直觀圖，根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，可證出PA⊥BD；
（3）假設存在點Q，使二面角Q-AC-D的平面角為30°，由AC⊥平面PBD可得∠DOQ為二面角Q-AC-D的平面角，可證出在Rt△PDO中，OQ⊥PD，且∠PDO=60°，結合三角函數(shù)的計算可得

|DQ|

|DP|

=

1

4

．

解答：解：（1）由已知的三視圖可得該棱錐的底面棱長為2，側面高為

7

則棱錐的底面積S_底=2×2=4，側面積S_側=4×

1

2

×2

7

=4

7

∴棱錐的表面積S表面=4+4

7

又∵棱錐的高h=

7 2-12

=

6

∴棱錐的體積V=

1

3

•S_底•h=

1

3

•4•

6

=

4 6

3

證明：（2）連接BD，AC交點為O，連接PO
則O為正四棱錐在底面ABCD上的投影
∴PO⊥底面ABCD
∴PO⊥BD
又∵棱錐的底面ABCD為正方形
∴AC⊥BD
又∵PO∩AC=0
∴BD⊥平面PAC，
又∵PA?平面PAC，
∴PA⊥BD；
解：（3）由三視圖可知，BC=2，PA=2

2

，假設存在這樣的D點
因為AC⊥OQ，AC⊥OD，
所以∠DOQ為二面角Q-AC-D的平面角
△PDO中，PD=2

2

，OD=

2

，則∠PDO=60°，
△DQO中，∠PDO=60°，且∠QOD=30°．
所以DP⊥OQ，所以OD=

2

，QD=

2

2

|DQ|

|DP|

=

1

4

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，由三視圖還原實物圖，其中（1）的關鍵是從已知的三視圖中分析出棱錐的形狀，（3）的關鍵是找出二面角Q-AC-D的平面角，再根據(jù)已知求出滿足條件的DQ的長．