Question

三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，∠ACB=90°，AC=CB=2．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅱ）當(dāng)∠PCB=60°時(shí)，求三棱錐A-PCB的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O，由PA=PB=PC，知O為△ABC的外心，由△ABC中，∠ACB=90°，知O為AB邊的中點(diǎn)，由此能夠證明平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅱ）由PA=PB=PC，∠PCB=60°，知△PCB為正三角形，由AC=CB=2，知PA=PB=PC=2，OA=PO=，由此利用等積法能求出三棱錐A-PCB的體積．
解答：證明：（Ⅰ）作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，即O為△ABC的外心，
又∵△ABC中，∠ACB=90°，
故O為AB邊的中點(diǎn)，
所以PO?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）∵PA=PB=PC，∠PCB=60°，∴△PCB為正三角形，
∵AC=CB=2，∴PA=PB=PC=2，
∴OA=PO=，
∴三棱錐A-PCB的體積V_A-PCB=V_P-ACB=•PO
=
=
=．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等積法的合理運(yùn)用．