Question

已知點A（λcosα，λsinα）（λ≠0），，O為坐標(biāo)原點，
（1）若時，不等式有解，求實數(shù)λ的取值范圍；
（2）若對任意實數(shù)α恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）有解，即（2分）
等價于：，代入得：λ²≥3（4分）
即 （6分）
（2）對任意的實數(shù)α恒成立，即對任意的實數(shù)α恒成立，即對任意的實數(shù)α恒成立 （8分）
所以或（12分）
解得：λ≥3或λ≤-3．故所求實數(shù)λ的取值范圍是（-∞，-3]∪[3，+∞）．（14分）
分析：（1）由于本題中已知點A（λcosα，λsinα）（λ≠0），，O為坐標(biāo)原點，不等式有解即存在這樣的參數(shù)使得不等式成立，這是一個存在性問題，故通過向量的模的表達(dá)公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)λ的不等式有解的問題，解出它的取值范圍；
（2）相比（1）本小題是一個恒成立問題，可將不等式進(jìn)行化簡，利用三角函數(shù)的有界性轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)λ的不等式；
點評：本題是一個向量綜合題，本題考查了存在性問題與恒成立問題，解此類題關(guān)鍵是對存在問題與恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，理解這類問題的邏輯關(guān)系是正確轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，此類題是高中數(shù)學(xué)的難點，也是容易互相混淆的題，熟練掌握向量模的坐標(biāo)表示公式是本題轉(zhuǎn)化的知識保證，本題比較抽象，考查了推理判斷能力以及計算能力，轉(zhuǎn)化化歸的思想，思維有深度，是高中數(shù)學(xué)中較易出錯的難題