Question

設過點M（-1，0）的直線與橢圓x²+3y²=a²（a＞0）相交于A，B兩個不同的點，且

AM

=2

MB

．記O為坐標原點．求△OAB的面積取得最大值時的橢圓方程．

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用根與系數(shù)的關(guān)系及向量相等得到y(tǒng)₁，y₂的關(guān)系及可用k來表示，再利用三角形的面積公式，從而得△OAB的面積 S=

1

2

|OC|•|y₂-y₁|及基本不等式的性質(zhì)，即可得出取得面積最大值時的k的值，進而得到a的值．

解答：證明：由y=k（x+1）（k≠0）得x=

1

k

y-1．
并代入橢圓方程x²+3y²=a²消去x得（3+k²）y²-6ky+3k²-k²a²=0   ①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由①，得y₁+y₂=

6k

3+k2

，②
∵

AM

=2

MB

．而點M（-1，0），
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），
得y₁=-2y₂代入②，得y₂=

-6k

3+k2

，③
∴△OAB的面積 S=

1

2

|OC|•|y₂-y₁|=

3

2

|y₂|=

9|k|

3+k2

≤

9|k|

2 3 |k|

=

3 3

2

，
當且僅當k²=3，即k=±

3

時取等號．
把k的值代人③可得y₂=±

3

，這兩組值分別代入①，均可解出a²=15．
∴△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是x²+3y²=15．

點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、基本不等式、橢圓方程等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．