Question

（2011•唐山一模）橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與直線x+y-1=0相交于A、B兩點，且OA丄OB（O為坐標(biāo)原點）．
（Ⅰ）求橢圓E與圓x²+y²=1的交點坐標(biāo)：
（Ⅱ）當(dāng)|AB|=

10

2

時，求橢圓E的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由根與系數(shù)關(guān)系求出A，B的橫縱坐標(biāo)的和與積，由

OA

•

OB

=0得到a，b的關(guān)系，再聯(lián)立橢圓方程和圓的方程求解交點坐標(biāo)；
（Ⅱ）直接由弦長公式列出關(guān)于a，b的關(guān)系式，結(jié)合（Ⅰ）中得到的a，b的關(guān)系式聯(lián)立方程組求解a²，b²的值，則橢圓方程可求．

解答：解：（Ⅰ）聯(lián)立

x+y-1=0 x2 a2 + y2 b2 =1

，得（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2-a2b2

a2+b2

，
y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-

2a2

a2+b2

+

a2-a2b2

a2+b2

=

b2-a2b2

a2+b2

．
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0，
即x1x2+y1y2=

a2-a2b2

a2+b2

+

b2-a2b2

a2+b2

=

a2+b2-2a2b2

a2+b2

=0．
∴a²+b²=2a²b²，b2=

a2

2a2-1

．
直線x+y-1=0在x、y軸截距為1，∵a＞b＞0，且OA⊥OB，∴a＞1，0＜b＜1，
聯(lián)立

x2 a2 + y2 b2 =1 x2+y2=1

，得x2=

a2-a2b2

a2-b2

=

a2-a2• a2 2a2-1

a2- a2 2a2-1

=

1

2

．
∴x=±

2

2

，代入x²+y²=1，得：y=±

2

2

．
∴橢圓E與圓x²+y²=1的交點坐標(biāo)為：
(-

2

2

，-

2

2

)、(-

2

2

，

2

2

)、(

2

2

，-

2

2

)、(

2

2

，

2

2

)；
（Ⅱ）由弦長公式得，
|AB|=

1+(-1)2

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

( 2a2 a2+b2 )2-4• a2-a2b2 a2+b2

=

2 2 ab

a2+b2

a2+b2-1

=

10

2

．
即16a²b²（a²+b²-1）=5（a²+b²）²．
又a²+b²=2a²b²，解得：a2=2，b2=

2

3

，或a2=

2

3

，b2=2（舍）．
∴a2=2，b2=

2

3

．
∴橢圓E的方程為：

x2

2

+

3y2

2

=1．

點評：本題考查了圓與圓錐曲線的綜合，訓(xùn)練了數(shù)量積判斷兩個向量垂直的條件，訓(xùn)練了弦長公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算能力，是難題．