雙曲線的中心是原點(diǎn)O,它的虛軸長為2
6
,右焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),直線l:x=
a2
c
與x軸交于點(diǎn)A,且|OF|=3|OA|.過點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn).
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)若
AP
AQ
=0,求直線PQ的方程.
分析:(Ⅰ)先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,依題意聯(lián)立方程組求得a和c,則b可求得,進(jìn)而求得雙曲線的方程.
(Ⅱ)當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí),PQ方程可得.此時(shí),
AP
AQ
≠0,應(yīng)舍去.進(jìn)而設(shè)出直線PQ的方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y,利用判別式大于0求得k的范圍,利用韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2,利用
AP
AQ
=0求得(x1-1,y1)•(x2-1,y2)=0,最后聯(lián)立方程組求得k.則直線方程可得.
解答:解.(Ⅰ)由題意,設(shè)曲線的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
由已知
a2+6=c2
c=
3a2
c
解得a=
3
,c=3
所以雙曲線的方程:
x2
3
-
y2
6
=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(1,0),F(xiàn)(3,0),
當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí),PQ方程為x=3.此時(shí),
AP
AQ
≠0,應(yīng)舍去.
當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-3).
由方程組
x2
3
-
y2
6
=1
y=k(x-3)
得(k2-2)x2-6k2x+9k2+6=0
由于過點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn),則k2-2≠0,即k≠±
2
,
由于△=36k4-4(k2-2)(9k2+6)=48(k2+1)>0得k∈R.
∴k∈R且k≠±
2
(*)
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則
x1+x2=
6k2
k2-2
(1)
x1x2=
9k2+6
k2-2
(2)

由直線PQ的方程得y1=k(x1-3),y2=k(x2-3)
于是y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9](3)
AP
AQ
=0,
∴(x1-1,y1)•(x2-1,y2)=0
即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0(4)
由(1)、(2)、(3)、(4)得
9k2+6
k2-2
-
6k2
k2-2
+1+k2(
9k2+6
k2-2
-3
6k2
k2-2
+9)
=0
整理得k2=
1
2
,
∴k=±
2
2
滿足(*)
∴直線PQ的方程為x-
2
y
-3=0或x+
2
y
-3=0
點(diǎn)評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.當(dāng)涉及求直線方程時(shí),一定要考慮斜率不存在的情況.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•寶坻區(qū)二模)雙曲線的中心是原點(diǎn)O,它的虛軸長為2
6
,相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c,0)(c>0)的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A,且|OF|=3|OA|.過點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn).
(Ⅰ)求雙曲線的方程及離心率;
(Ⅱ)若
AP
AQ
=0,求直線PQ的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

雙曲線的中心是原點(diǎn)O,它的虛軸長為2,相應(yīng)的焦點(diǎn)F(c,0)(c>0)的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A,且|OF|=3|OA|.過點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn).

(1)求雙曲線的方程及離心率;

(2)若=0,求直線PQ的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

雙曲線的中心是原點(diǎn)O,它的虛軸長為2
6
,右焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),直線l:x=
a2
c
與x軸交于點(diǎn)A,且|OF|=3|OA|.過點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn).
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)若
AP
AQ
=0,求直線PQ的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2005-2006學(xué)年北京市東城區(qū)高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

雙曲線的中心是原點(diǎn)O,它的虛軸長為,右焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),直線l:與x軸交于點(diǎn)A,且|OF|=3|OA|.過點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn).
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)若=0,求直線PQ的方程.

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