Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=

3

，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上移動(dòng)．
（1）求三棱錐E-PAB體積；
（2）求證：PE⊥AF
（3）當(dāng)點(diǎn)E在CD的什么位置時(shí)，EF∥平面PAC，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由PA⊥平面ABCD可得V_E-PAD=V_P-ABE=

1

3

S_△ABE•PA，運(yùn)算求得結(jié)果．
（2）由條件證明CD⊥平面PAD，可得AF⊥DC．再由AF⊥PD，證得AF⊥平面PDC，從而PE⊥AF．
（3）當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，EF||平面PAC．根據(jù)EF是三角形PCD的中位線(xiàn)可得EF||PC，再根據(jù)直線(xiàn)和平面
平行的判定定理證得EF||平面PAC．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴VE-PAB=VP-ABE=

1

3

S△ABE•PA=

1

3

×

1

2

×1×

3

×1=

3

6

．…（5分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．
∵ABCD是矩矩形，∴CD⊥AD．∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF?平面PAD，∴AF⊥DC．…（7分）
∵PA=AD，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，∴AF⊥PD．
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．…（9分）
PE?平面PDC，∴PE⊥AF．…（10分）
（3）當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，EF||平面PAC．   …（11分）
理由如下：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CD、PD的中點(diǎn)，∴EF||PC．
∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，∴EF||平面PAC．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)和平面平行的判定定理、直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，用等體積法求棱錐的體積，
屬于中檔題．