Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）設(shè)，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)sinA不為0，求出cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（Ⅱ）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算所求的式子，根據(jù)B的度數(shù)，得出A的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出所求式子的最小值．
解答：解：（I）由正弦定理===2R，有a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入（2a-c）cosB=bcosC，得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C），
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA，
∵0＜A＜π，∴sinA≠0，
∴cosB=，
∵0＜B＜π，∴B=；
（II）∵=（sinA，1），=（-1，1），
∴•=-sinA+1，
由B=得：A∈（0，），
則當(dāng)A=時(shí)，•取得最小值0．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，誘導(dǎo)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．