Question

（2012•焦作模擬）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosα y=sinα

(α為參數(shù))．以直角坐標(biāo)系原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-

π

4

)=2

2

．點P為曲線C上的一個動點，求點P到直線l距離的最小值．

Answer 1

分析：將直線l的極坐標(biāo)方程左邊利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式以及特殊角的三角函數(shù)值化簡，整理后化為直角坐標(biāo)方程，設(shè)曲線C上的點P坐標(biāo)為（2cosα，sinα），利用點到直線的距離公式表示出點P到直線l的距離，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式整理后，利用正弦函數(shù)的值域即可求出d的最小值．

解答：解：將ρcos（θ-

π

4

）=2

2

化簡為：

2

2

ρcosθ+

2

2

ρsinθ=2

2

，即ρcosθ+ρsinθ=4，
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y=4，
設(shè)點P的坐標(biāo)為（2cosα，sinα），
可得點P到直線l的距離d=

|2cosα+sinα-4|

2

=

| 5 sin(α+γ)-4|

2

（其中cosγ=

5

5

，sinγ=

2 5

5

），
則當(dāng)sin（α+γ）=1時，d_min=

4- 5

2

=2

2

-

10

2

．

點評：此題考查了圓的參數(shù)方程，直線的極坐標(biāo)方程，點到直線的距離公式，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，以及點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，其中弄清極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化是本題的突破點．