Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求直線PB與底面ABCD所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥BD，AC⊥BD，由此能證明BD⊥平面PAC．
（2）由PA⊥底面ABCD，得∠PBA是直線PB與底面ABCD所成的角，由此能求出直線PB與底面ABCD所成的角．

解答： （1）證明：∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，
PA⊥底面ABCD，且PA=AD，
∴PA⊥BD，AC⊥BD，
又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．（6分）
（2）∵PA⊥底面ABCD，
∴∠PBA是直線PB與底面ABCD所成的角，
∵PA=AD，
∴∠PBA=45°．
∴直線PB與底面ABCD所成的角為45°．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與底面所成的角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．