Question

設(shè)a_n=3ⁿ，求證：

1-( 1 3 )n

2

＜

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：

1

an-1

=

1

3n-1

＞

1

3n

，

1

an-1

=

1

3n-1

＜

1

2n

，利用放縮法即可得證．

解答： 證明：∵a_n=3ⁿ，
∴

1

an-1

=

1

3n-1

＞

1

3n

，
∴

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＞

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1-( 1 3 )n

2

，
又∵

1

an-1

=

1

3n-1

＜

1

2n

，
∴

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1，
∴

1-( 1 3 )n

2

＜

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用放縮法證明不等式問題，放縮后利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算，考查學(xué)生的邏輯思維能力及運(yùn)算求解能力，屬于難題．