已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若函數(shù)數(shù)學(xué)公式的最小值；
（III）若0＜n＜m，求證：數(shù)學(xué)公式．

解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-1-2lnx，，
由f'（x）＞0，得x＞2；
由f'（x）＜0，得0＜x＜2．
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為[2，+∞）

（II）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/215982.png' />上恒成立不可能，
故要使函數(shù)上無(wú)零點(diǎn)，
只要對(duì)任意的恒成立，
即對(duì)恒成立．
令，
則，
，
綜上，若函數(shù)，則a的最小值為2-4ln2．
（III）證明：由第（I）問(wèn)可知f（x）=（x-1）-2lnx在（0，1]上單調(diào)遞減．
∵，∴
∴∴，
即


分析：（I）代入a的值，寫(xiě)出函數(shù)的解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)大于0，求出自變量的值，寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間．
（II）根據(jù)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于0在一個(gè)區(qū)間上不恒成立，得到函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用求最值得方法求出函數(shù)的最小值．
（III）要證明不等式成立，由第（I）問(wèn)可知f（x）=（x-1）-2lnx在（0，1]上單調(diào)遞減，得到兩個(gè)自變量的函數(shù)值之間的關(guān)系，整理出結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查恒成立問(wèn)題，化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力，本題解題的關(guān)鍵是最后一問(wèn)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱(chēng)，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時(shí)f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實(shí)數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對(duì)于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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