Question

將2006表示成5個正整數(shù)x₁，x₂，x₃，x₄，x₅之和．記S=

-1≤i≤j≤5

x_ix_j．問：
（1）當x₁，x₂，x₃，x₄，x₅取何值時，S取到最大值；
（2）進一步地，對任意1≤i，j≤5有

.

xi-xj

.

≤2，當x₁，x₂，x₃，x₄，x₅取何值時，S取到最小值．說明理由．

Answer 1

（1）首先這樣的S的值是有界集，故必存在最大值與最小值． 
x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2006，且使S=

-1≤i≤j≤5

xixj取到最大值，則必有|x_i-x_j|≤1（1≤i，j≤5）…（5分）     （*）
事實上，假設（*）不成立，不妨假設x₁-x₂≥2，則令x₁′_′=x₁-1，x₂′=x₂+1，x_i′=x_i （i=3，4，5），有x₁′+x₂′=x₁+x₂，x₁′•x₂′=x₁x₂+x₁-x₂-1＞x₁x₂．
將S改寫成S=

-1≤i≤j≤5

xixj=x₁x₂+（x₁+x₂）（x₃+x₄+x₅）+x₃x₄+x₃x₅+x₄x₅
同時有 S′=x₁′x₂′+（x₁′+x₂′）（（x₃+x₄+x₅）+x₃x₄+x₃x₅+x₄x₅．
于是有S′-S=x₁′x₂′-x₁x₂＞0．
這與S在x₁，x₂，x₃，x₄，x₅時取到最大值矛盾．
所以必有|x_i-x_j|≤1，（1≤i，j≤5）．
因此當x₁=402，x₂=x₃=x₄=x₅=401時S取到最大值．            …（10分）
（2）當x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2006，且|x_i-x_j|≤2時，只有
（1）402，402，402，400，400；
（2）402，402，401，401，400；
（3）402，401，401，401，401；
三種情形滿足要求．                                  …（15分）
而后兩種情形是由第一組作x_i′=x_i-1，x_j′=x_j+1調(diào)整下得到的．
根據(jù)上一小題的證明可知道，每次調(diào)整都使和式S=

-1≤i≤j≤5

xixj變大．
所以在x₁=x₂=x₃=402，x₄=x₅=400時S取到最小值．…（20分）