已知a1＝2，點(diǎn)(an，an+1)在函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象上，其中n＝1，2，3，…．

(1)求證：數(shù)列{lg(1＋an)}是等比數(shù)列；

(2)設(shè)Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn及數(shù)列{an}的通項(xiàng)；

(3)記，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn，并證明．

答案：
解析：

　　(1)證明：由已知，得an+1＝an2＋2an，

　　∴an+1＋1＝(an＋1)2．①

　　∵a1＝2，∴an＋1＞1．將①式兩邊取對(duì)數(shù)，得

　　lg(1＋an+1)＝2lg(1＋an)，即．

　　lg(1＋a1)＝lg(1＋2)＝lg3．

　　∴{lg(1＋an)}是公比為2的等比數(shù)列．

　　(2)解：由(1)，知lg(1＋an)＝2n－1lg3＝lg32n－1，

　　∴1＋an＝32n－1②

　　∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)＝320×321×322×…×32n－1＝31+2+22＋…＋2n－1＝32n－1．

　　由②式，得an＝32n－1－1．

　　(3)證明：∵an+1＝an2＋2an，∴an+1＝an(an＋2)．

　　∴．

　　∴．

　　又，

　　∴．

　　∴．

　　∵an＝32n－1－1，a1＝2，an+1＝32n－1，

　　∴．

　　又Tn＝32n－1，∴．

　　思路分析：(1)主要根據(jù)已知條件找出相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，然后再證明；(2)要先求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)在解題過程中恰當(dāng)利用裂項(xiàng)相消可減少運(yùn)算．


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設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝5，且nSn+1＝2n(n＋1)＋(n＋1)Sn(n∈N*)，則過點(diǎn)P(n，an)和Q(n＋2，an+2)(n∈N*)的直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以是

[　　]

A．(2，)

B．(－1，－1)

C．(，－1)

D．()

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(1)直線AB分別與平面α，β所成角的大��；

(2)二面角A1－AB－B1的大�。�

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(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2.

(1)設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，其中a1＝3.若點(diǎn)(an，an＋12－2an＋1)(n∈N*)在函數(shù)y＝f′(x)的圖象上，求證：點(diǎn)(n，Sn)也在y＝f′(x)的圖象上；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a－1，a)內(nèi)的極值．

 

 

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如圖，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，點(diǎn)A在直線l上的射影為A1，點(diǎn)B在直線l上的射影為B1，已知AB＝2，AA1=1，BB1＝，求：

（Ⅰ）直線AB分別與平面α，β所成的角的大��；

（Ⅱ）二面角A1－AB－B1的大小.

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19.

如圖，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，點(diǎn)A在直線l上的射影為A1，點(diǎn)B在直線l上的射影為B1，已知AB＝2，AA1=1，BB1＝Equation.3，求：

（Ⅰ）直線AB分別與平面α，β所成的角的大小；

（Ⅱ）二面角A1－AB－B1的大小.

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