Question

4．已知數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，在{a_n}的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的算術(shù)平均值，得到新數(shù)列{a_n（1）}，這樣的操作叫做該數(shù)列的1次“A”擴(kuò)展，連續(xù)m次“A”擴(kuò)展，得到新數(shù)列{a_n（m）}．例如：數(shù)列1，2，3第1次“A”擴(kuò)展后得到數(shù)列1，$\frac{3}{2}$，2，$\frac{5}{2}$，3；第2次“A”擴(kuò)展后得到數(shù)列1，$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{4}$，2，$\frac{9}{4}$，$\frac{5}{2}$，$\frac{11}{4}$，3．
（1）求證：{a_n（m）}為等差數(shù)列，并求其公差d_m；
（2）已知等差數(shù)列{a_n}共有n項(xiàng)，且a₁=1，d=1，{a_n（m）}的所有項(xiàng)的和為S_n（m），求使S_n（n²）-n²＞2017，成立的n的取值集合．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差中項(xiàng)的定義得出結(jié)論，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出d_m；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論代入求和公式得出S_n（n²）-n²，利用單調(diào)性得出n的范圍．

解答 解：（1）由題意可知a_n（m）=$\frac{{a}_{n-1}（m）+{a}_{n+1}（m）}{2}$，
∴{a_n（m）}為等差數(shù)列．
經(jīng)過m次A擴(kuò)展后，在a_n和a_n+1之間共插入的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為：1+2+4+…+2^m-1=2^m-1，
∴a₁（m）=a₁，a${\;}_{{2}^{m}+1}$（m）=a₂，
∴a${\;}_{{2}^{m}+1}$（m）=a₁（m）+2^md_m，即a₂=a₁+2^md_m，
∴d_m=$\frac{{a}_{2}-{a}_{1}}{{2}^{m}}$=$\fracmqtnrun{{2}^{m}}$．
（2）由（1）可知經(jīng)過n²次A擴(kuò)展后，{a_n（n²）}的項(xiàng)數(shù)為n+（n-1）•（2${\;}^{{n}^{2}}$-1）=n•2${\;}^{{n}^{2}}$-2${\;}^{{n}^{2}}$+1，
∴S_n（n²）=$\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}$×（n•2${\;}^{{n}^{2}}$-2${\;}^{{n}^{2}}$+1）=$\frac{n•{2}^{{n}^{2}}-{2}^{{n}^{2}}+1}{2}$（n+1），
∴S_n（n²）-n²=2${\;}^{{n}^{2}}$^-1（n²-1）+$\frac{1}{2}$（n+1）-n²（n≥3），
設(shè)f（n）=2${\;}^{{n}^{2}}$^-1（n²-1）+$\frac{1}{2}$（n+1）-n²，顯然f（n）為增函數(shù)，
∵f（3）=2041＞2017，
∴n≥3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．