【題目】已知橢圓的離心率為，其右頂點為，下頂點為，定點，的面積為，過點作與軸不重合的直線交橢圓于兩點，直線分別與軸交于兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）試探究的橫坐標的乘積是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

【答案】（1）（2）是定值，

【解析】

（1）由三角形的面積、離心率列出方程組求解a、b，即可寫出橢圓方程；（2）設(shè)出直線的方程與點的坐標，求出直線BP、BQ的方程進而求出點M、N的橫坐標，兩橫坐標相乘并化簡為關(guān)于、的表達式，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立并利用韋達定理求出、，代入橫坐標的乘積化簡即可證明.

（1）由已知，的坐標分別是由于的面積為，

①，又由，化簡得②，

①②兩式聯(lián)立解得：或（舍去），，

橢圓方程為；

（2）設(shè)直線的方程為，的坐標分別為

則直線的方程為，令，得點的橫坐標，

直線的方程為，令，得點的橫坐標，

把直線代入橢圓得，

由韋達定理得，

∴，是定值．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某蛋糕店制作并銷售一款蛋糕，制作一個蛋糕成本4元，且以9元的價格出售，若當天賣不完，剩下的則無償捐獻給飼料加工廠．根據(jù)以往100天的資料統(tǒng)計，得到如表需求量表：

需求量/個

[100，110）

[110，120）

[120，130）

[130，140）

[140，150]

天數(shù)

15

25

30

20

10

該蛋糕店一天制作了這款蛋糕X（X∈N）個，以x（單位：個，100≤x≤150，x∈N）表示當天的市場需求量，T（單位：元）表示當天出售這款蛋糕獲得的利潤．

（1）當x＝135時，若X＝130時獲得的利潤為T1，X＝140時獲得的利潤為T2，試比較T1和T2的大�。�

（2）當X＝130時，根據(jù)上表，從利潤T不少于560元的天數(shù)中，按需求量分層抽樣抽取6天．

（i）求此時利潤T關(guān)于市場需求量x的函數(shù)解析式，并求這6天中利潤為650元的天數(shù)；

（ii）再從這6天中抽取3天做進一步分析，設(shè)這3天中利潤為650元的天數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖,空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染,某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市,并停留2天.

(Ⅰ)求此人到達當日空氣重度污染的概率；

(Ⅱ)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】小明在某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一單獎勵1元；乙方案：底薪140元，每日前54單沒有獎勵，超過54單的部分每單獎勵20元.

(1)請分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y（單位：元）與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件：在這100天中的派送量指標滿足如圖所示的直方圖，其中當某天的派送量指標在時，日平均派送量為單．若將頻率視為概率，回答下列問題：

①估計這100天中的派送量指標的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表) ；

②根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設(shè)每名派送員的日薪為（單位：元），試分別求出甲、乙兩種方案的日薪的分布列及數(shù)學(xué)期望. 請利用數(shù)學(xué)期望幫助小明分析他選擇哪種薪酬方案比較合適？并說明你的理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】直四棱柱被平面所截得到如圖所示的五面體，，．

（1）求證：∥平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從秦朝統(tǒng)一全國幣制到清朝末年，圓形方孔銅錢（簡稱“孔方兄”）是我國使用時間長達兩千多年的貨幣．如圖1，這是一枚清朝同治年間的銅錢，其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的，內(nèi)嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合，正方形外部，圓框內(nèi)部刻有四個字“同治重寶”．某模具廠計劃仿制這樣的銅錢作為紀念品，其小圓內(nèi)部圖紙設(shè)計如圖2所示，小圓直徑1厘米，內(nèi)嵌一個大正方形孔，四周是四個全等的小正方形（邊長比孔的邊長�。�，每個正方形有兩個頂點在圓周上，另兩個頂點在孔邊上，四個小正方形內(nèi)用于刻銅錢上的字．設(shè)，五個正方形的面積和為S．

（1）求面積S關(guān)于的函數(shù)表達式，并求定義域；

（2）求面積S的最小值及此時的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中

（Ⅰ）若，討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市《城市總體規(guī)劃（年）》提出到2035年實現(xiàn)“15分鐘社區(qū)生活圈”全覆蓋的目標，從教育與文化、醫(yī)療與養(yǎng)老、交通與購物、休閑與健身4個方面構(gòu)建“15分鐘社區(qū)生活圈“指標體系，并依據(jù)“15分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)高低將小區(qū)劃分為：優(yōu)質(zhì)小區(qū)(指數(shù)為、良好小區(qū)(指數(shù)為0.4-0.63、中等小區(qū)(指數(shù)為0.2~0.4)以及待改進小區(qū)(指數(shù)為0-0.2)4個等級．下面是三個小區(qū)4個方面指標值的調(diào)查數(shù)據(jù)：

注：每個小區(qū)”15分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)其中、、、為該小區(qū)四個方面的權(quán)重，為該小區(qū)四個方面的指標值(小區(qū)每一個方面的指標值為之間的一個數(shù)值)

現(xiàn)有100個小區(qū)的“15分鐘社區(qū)生活圈“指數(shù)數(shù)據(jù)，整理得到如下頻數(shù)分布表：

（1）分別判斷A、B、C三個小區(qū)是否是優(yōu)質(zhì)小區(qū)，并說明理由；

（2）對這100個小區(qū)按照優(yōu)質(zhì)小區(qū)、良好小區(qū)、中等小區(qū)和待改進小區(qū)進行分層抽樣，抽取10個小區(qū)進行調(diào)查，若在抽取的10個小區(qū)中再隨機地選取2個小區(qū)做深入調(diào)查，記這2個小區(qū)中為優(yōu)質(zhì)小區(qū)的個數(shù)為ζ，求ζ的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】萬眾矚目的第14屆全國冬季運動運會（簡稱“十四冬”）于2020年2月16日在呼倫貝爾市盛大開幕，期間正值我市學(xué)校放寒假，寒假結(jié)束后，某校工會對全校100名教職工在“十四冬”期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時間作了一次調(diào)查，得到如圖頻數(shù)分布直方圖：

（1）若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為“冰雪迷”，否則定義為“非冰雪迷”，請根據(jù)頻率分布直方圖補全列聯(lián)表；并判斷能否有的把握認為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關(guān)；

（2）在全校“冰雪迷”中按性別分層抽樣抽取6名，再從這6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運動知識講座.記其中女職工的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附表及公式：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

，

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