Question

已知下列命題：（1）已知函數(shù)（p為常數(shù)且p＞0），若f（x）在區(qū)間（1，+∞）的最小值為4，則實(shí)數(shù)p的值為； （2）；（3）正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中：a₄．a(chǎn)₆=8，函數(shù)f（x）=x（x+a₃）（x+a₅）（x+a₇），則；（4）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2n²-n+1，且b_n=2a_n+1，則數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n=4n²-n+2上述命題正確的序號(hào)是________．

Answer 1

解：①∵函數(shù) =x-1++1≥2 +1（當(dāng)且僅當(dāng)x-1=等號(hào)成立），
∴2 +1=4，∴p=，∴（x-1）=，解得x=或-，∴實(shí)數(shù)p=，故該命題是真命題；
②∵，∴是假命題；
③∵a₄．a(chǎn)₆=8，∴a₅=2，a₃=，a₇=4，
∵f′（x）=（x+a₃）（x+a₅）（x+a₇）+x（x+a₅）（x+a₇）+x（x+a₃）（x+a₇）+x（x+a₃）（x+a₅），
∴f′（0）=a₃•a₅•a₇，故正確；
④∵b_n=2a_n+1，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2n²-n+1，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2a₁+2a₂+2a₃+…+2a_n+n
=2S_n+n=4n²-n+2，故正確；
故答案為①③④．
分析：①將函數(shù)f（x）配成基本不等式的形式，然后利用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解．②根據(jù)，可知該命題是假命題；③利用等比數(shù)列的性質(zhì)和定義，分別求出a₅=2，a₃=，a₇=4，對(duì)函數(shù)f（x）=x（x+a₃）（x+a₅）（x+a₇）求導(dǎo)，即可求得，④根據(jù)題意b_n=2a_n+1，可得T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2a₁+2a₂+2a₃+…+2a_n+n，整體代入即可求得結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判定，以及三角函數(shù)的最值和數(shù)列求和，導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，是一道綜合題，考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，以及思維的轉(zhuǎn)換，是一道不錯(cuò)的考題，屬中檔題．