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10.某同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=x1+|x|(x∈R)時(shí),得到一下四個(gè)結(jié)論:
①f(x)的值域是(-1,1);
②對(duì)任意x∈R,都有fx1fx2x1x2>0;
③若規(guī)定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),則對(duì)任意的n∈N*,fn(x)=x1+n|x|;
④對(duì)任意的x∈[-1,1],若函數(shù)f(x)≤t2-2at+12恒成立,則當(dāng)a∈[-1,1]時(shí),t≤-2或t≥2,
其中正確的結(jié)論是①②③(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)).

分析 ①分x>0與x≤0討論,可得函數(shù)f(x)的值域是(-1,1),從而可判斷①;
②由①的分析可知,函數(shù)在每一分段上單調(diào)遞增,從而可判斷②;
③依題意,可求得f2(x)=f(f1(x))=x1+2|x|,f3(x)=f(f2(x))=x1+3|x|…,利用歸納法可判斷③;
④利用表達(dá)式恒成立轉(zhuǎn)化函數(shù)最值恒成立,利用變量轉(zhuǎn)化法進(jìn)行i區(qū)就即可.

解答 解:∵fx=x1+|x|=fx,∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x1+x=11+1x∈(0,1)
知當(dāng)x<0時(shí),f(x)∈(-1,0)x=0時(shí),f(x)=0
∴f(x)∈(-1,1),即函數(shù)的值域?yàn)椋?1,1)故①正確;
②若對(duì)任意x∈R,都有fx1fx2x1x2>0,則等價(jià)為函數(shù)f(x)為增函數(shù),
∵當(dāng)x>0時(shí),f(x)=11+1x,則y=1x為減函數(shù),y=1+1x為減函數(shù),則f(x)=11+1x,
∵f(x)是奇函數(shù),∴f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),故②正確,
③∵f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),
∴f2(x)=f(f1(x))=x1+|x|1+|x1+|x||=x1+2|x|,f3(x)=f(f2(x))=x1+2|x|1+|x1+2|x||=x1+3|x|
∴fn(x)=x1+n|x|對(duì)任意的n∈N*恒成立,即③正確;
④對(duì)任意的x∈[-1,1],f(x)為增函數(shù),∴函數(shù)的最大值為f(1)=12,
要使函數(shù)f(x)≤t2-2at+12恒成立,
即t2-2at+1212,即t2-2at≥0,
設(shè)h(a)=-2ta+t2,
若a∈[-1,1]時(shí),
{h1=2t+t20h1=2t+t20
{t2t0t0t2,即
h(1)=-2ta+t2,t≤-2或t=0,故④錯(cuò)誤,
故答案為:①②③

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,綜合考查函數(shù)的解析式、單調(diào)性及值域,考查歸納法與推理運(yùn)算能力,④中,分析f(x)=x1+|x|(x∈R)為奇函數(shù)是關(guān)鍵,屬于難題.

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