Question

6．已知二次數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≤b）的值域?yàn)閇0，+∞），則$\frac{a-b+4c}{a+b}$的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得△=b²-4ac=0，且0＜a≤b，將原分式分子、分母同乘以a，再同乘以a²，令1+$\frac{a}$=t（t≥2），轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可得到所求最小值．

解答 解：由題意可得△=b²-4ac=0，且0＜a≤b，
則$\frac{a-b+4c}{a+b}$=$\frac{{a}^{2}-ab+4ac}{{a}^{2}+ab}$=$\frac{{a}^{2}-ab+^{2}}{{a}^{2}+ab}$
=$\frac{1-\frac{a}+（\frac{a}）^{2}}{1+\frac{a}}$，
令1+$\frac{a}$=t（t≥2），即有$\frac{a}$=t-1，
則$\frac{a-b+4c}{a+b}$=$\frac{1-（t-1）+（t-1）^{2}}{t}$
=t+$\frac{3}{t}$-3，
由y=t+$\frac{3}{t}$-3的導(dǎo)數(shù)為y′=1-$\frac{3}{{t}^{2}}$，
由于t≥2，可得y′＞0，即函數(shù)y遞增，
可得y的最小值為2+$\frac{3}{2}$-3=$\frac{1}{2}$，此時(shí)a=b．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的值域的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和換元法的運(yùn)用，以及函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．