Question

某公司為幫助尚有26.8萬元無息貸款沒有償還的殘疾人商店，借出20萬元將該商店改建成經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣店，并約定用該店經(jīng)營的利潤逐步償還債務(wù)（所有債務(wù)均不計利息）．已知該種消費品的進價為每件40元；該店每月銷售量q（百件）與銷售價p（元/件）之間的關(guān)系用右圖中的一條折線（實線）表示；職工每人每月工資為1200元，該店應(yīng)交付的其它費用為每月13200元．
（1）若當(dāng)銷售價p為52元/件時，該店正好收支平衡，求該店的職工人數(shù)；
（2）若該店只安排20名職工，則該店最早可在幾年后還清所有債務(wù)，此時每件消費品的價格定為多少元？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題目的問題找到關(guān)鍵詞--“收支平衡”、“還清所有債務(wù)”，不難想到，均與“利潤”相關(guān)．從閱讀和以上分析，可以達成我們對題目的整體理解，明確這是一道函數(shù)型應(yīng)用題．為此，首先應(yīng)該建立利潤與職工人數(shù)、月銷售量q、單位商品的銷售價p之間的關(guān)系，然后，通過研究解析式，來對問題作出解答．
（2）由于若該店只安排20名職工，利用分段函數(shù)表示出月利潤，再分類類討論：當(dāng)40≤p≤58 時，當(dāng)58＜p≤81 時，求得 p取多少時，S取最大值．最后設(shè)該店最早可在n年后還清債務(wù)，依題意列出關(guān)于n的不等關(guān)系即可解決問題．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)該店的月利潤為S元，有職工m名．則S=q（p-40）×100-1200m-13200．
又由圖可知：．
所以S=，
由已知，當(dāng)p=52 時，S=0，即：（-2p+140）（p-40）×100-1200m-13200=0，
解得m=25．即此時該店有25名職工．
（Ⅱ）若該店只安排20名職工，則月利潤
S=，
當(dāng)40≤p≤58 時，求得 p=55時，S取最大值7800元．
當(dāng)58＜p≤81 時，求得 p=61時，S取最大值6900元．
綜上，當(dāng)p=55 時，S有最大值7800元．
設(shè)該店最早可在n年后還清債務(wù)，依題意，
有12n×7800-268000-200000≥0．
解得n≥5．
所以，該店最早可在5年后還清債務(wù)，此時消費品的單價定為55元．
點評：求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題必須突破三關(guān)：（1）閱讀理解關(guān)：一般數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量都比較大，要通過閱讀審題，找出關(guān)鍵詞、句，理解其意義．（2）建模關(guān)：即建立實際問題的數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．（3）數(shù)理關(guān)：運用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決已建立的數(shù)學(xué)模型．