Question

已知O為坐標原點,直線l經過點P(2,0),且與拋物線y²=4x交于A、B兩個不同點.

(1)求證:直線OA與直線OB不垂直;

(2)如果點E(8,0)在以線段AB為直徑的圓上,求直線l的方程.

Answer 1

答案：(1)證明:設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則y₁²=4x₁,y₂²=4x₂,

=(x₁-2,y₁),=(x₂-2,y₂),∵P、A、B共線,∴∥.

∴(x₁-2)y₂-y₁(x₂-2)=0.由y₁²=4x₁,y₂²=4x₂得x₁=,x₂=,

代入(x₁-2)y₂-y₁(x₂-2)=0,化簡得y₁y₂=-8.

∵=(x₁,y₁),=(x₂,y₂),∴x₁x₂+y₁y₂=+y₁y₂=-4≠0.

∴與不垂直.∴直線OA與直線OB不垂直.

(2)解:∵=(x₁-8,y₁),=(x₂-8,y₂),由點E(8,0)在以線段AB為直徑的圓上得⊥.

∴(x₁-8)(x₂-8)+y₁y₂=0.

將x₁=,x₂=,y₁y₂=-8代入(x₁-8)(x₂-8)+y₁y₂=0.∴y₁²+y₂²=30.

∴y₁+y₂=±=±.

∴直線AB的斜率存在,設其為k,則k==±.

∴直線AB的方程為y=±(x-2).

∴當點E(8,0)在以線段AB為直徑的圓上時,直線l的方程為y=±(x-2).