Question

（2011•通州區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}：1，1+

1

2

，1+

1

3

+

2

3

，1+

1

4

+

2

4

+

3

4

，…，1+

1

n

+

2

n

+…+

n-1

n

，…．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，并證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（II）設(shè)bn=

n

(an+1-an)n

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）依題意，可求得a_n+1-a_n為定值，利用定義判斷即可；
（II）由（Ⅰ），結(jié)合題意可求得b_n=n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（I）∵a_n=1+

1

n

+

2

n

+…+

n-1

n

=1+

( 1 n + n-1 n )(n-1)

2

=

n+1

2

，
∴a_n+1-a_n=

(n+1)+1

2

-

n+1

2

=

1

2

，又a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公差的等差數(shù)列；
（II）∵b_n=

n

(an+1-an)n

=

n

( 1 2 )n

=n•2ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1×2¹+2×2²+…+n•2ⁿ，①
∴2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-T_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差關(guān)系的確定，考查數(shù)列的求和，突出考查錯(cuò)位相減法在解決由等差數(shù)列與等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的數(shù)列求和中的作用，屬于中檔題．