Question

已知△ABC為等腰直角三角形，AB=BC=1，動點P從點A開始，沿A→B→C→A運動．
（1）求PA的長y與點P所走路程x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）若f（a）=1，求a的值；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）結(jié)合圖象可得，當0≤x≤1時，f（x）=x，當1＜x＜2時，f（x）=P′A=

12+(x-1)2

=

x2-2x+2

，當2≤x≤2+

2

時，f（x）=P″A=2+

2

-x，綜合可得；
（2）分別令每一段等于1，解得a值驗證可得；
（3）分別求每一段的值域，綜合可得．

解答： 解：（1）（如圖）由題意可得，當0≤x≤1時，f（x）=x，
當1＜x＜2時，f（x）=P′A=

12+(x-1)2

=

x2-2x+2

，
當2≤x≤2+

2

時，f（x）=P″A=2+

2

-x，
∴f（x）=

x，0≤x≤1 x2-2x+2 ，1＜x＜2 2+ 2 -x，2≤x≤2+ 2

（2）令f（a）=1，可得a=1符合題意，
令

a2-2a+2

=1解得a=2，或a=0，均不滿足1＜a＜2，
令2+

2

-a=1解得a=1+

2

符合題意，
故a=1，或a=1+

2

（3）由（1）知f（x）=

x，0≤x≤1 x2-2x+2 ，1＜x＜2 2+ 2 -x，2≤x≤2+ 2

，
可知當0≤x≤1時，0≤f（x）≤1，
當1＜x＜2時，f（x）=

12+(x-1)2

∈（1，

2

）
當2≤x≤2+

2

時，f（x）=2+

2

-x∈[0，

2

]
綜上可得函數(shù)f（x）的值域為：[0，

2

]

點評：本題考查函數(shù)解析式的求解，涉及函數(shù)值域的求解，屬基礎(chǔ)題．