Question

設O為坐標原點，曲線x²＋y²＋2x－6y＋1＝0上有兩點P、Q，滿足關于直線x＋my＋4＝0對稱，又滿足·＝0.
(1)求m的值；
(2)求直線PQ的方程．

Answer 1

(1)曲線方程為(x＋1)²＋(y－3)²＝9表示圓心為(－1,3)，半徑為3的圓．
∵點P、Q在圓上且關于直線x＋my＋4＝0對稱，
∴圓心(－1,3)在直線上．代入得m＝－1.
(2)∵直線PQ與直線y＝x＋4垂直，
∴設P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，PQ方程為y＝－x＋b.
將直線y＝－x＋b代入圓方程，
得2x²＋2(4－b)x＋b²－6b＋1＝0.
Δ＝4(4－b)²－4×2×(b²－6b＋1)>0，
得2－3<b<2＋3.
由韋達定理得x₁＋x₂＝－(4－b)，x₁·x₂＝.
y₁·y₂＝b²－b(x₁＋x₂)＋x₁·x₂＝＋4b.
∵·＝0，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0，即b²－6b＋1＋4b＝0.
解得b＝1∈(2－3，2＋3)．
故所求的直線方程為y＝－x＋1.  

略